15.1 Enkel harmonisk bevegelse - Universitetets fysikk bind 1 | OpenStax (2023)

Periode og frekvens i svingninger

I fravær av friksjon forblir tiden for å fullføre en svingning konstant og kallesperiode (T). Enhetene er vanligvis sekunder, men kan være en hvilken som helst praktisk tidsenhet. Ordet "periode" refererer til tiden for en eller annen hendelse, enten den er repeterende eller ikke, men i dette kapittelet skal vi først og fremst behandle periodisk bevegelse, som per definisjon er repeterende.

Et konsept som er nært knyttet til periode er hyppigheten av en hendelse.Frekvens (f)er definert til å være antall hendelser per tidsenhet. For periodisk bevegelse er frekvensen antall svingninger per tidsenhet. Forholdet mellom frekvens og periode er

SI-enheten for frekvens erhertz(Hz) og er definert som énsyklus per sekund:

$$1\text{Hz}=1\frac{\text{syklus}}{\text{s}}\text{eller}1\text{Hz}=\frac{1}{\text{s}}=1{\text{s}}^{\mathrm{-1}}.$$

En syklus er en fullførtsvingning.

Kjennetegn ved Simple Harmonic Motion

En veldig vanlig type periodisk bevegelse kallesenkel harmonisk bevegelse (SHM). Et system som svinger med SHM kalles aenkel harmonisk oscillator.

Et godt eksempel på SHM er en gjenstand med massemfestet til en fjær på en friksjonsfri overflate, som vist iFigur 15.3. Objektet svinger rundt likevektsposisjonen, og nettokraften på objektet er lik kraften fra fjæren. Denne kraften adlyderHookes lov $F_s=\text{−}kx,$som omtalt i et tidligere kapittel.

Hvis nettokraften kan beskrives av Hookes lov og det er ingendemping(bremser på grunn av friksjon eller andre ikke-konservative krefter), så svinger en enkel harmonisk oscillator med lik forskyvning på hver side av likevektsposisjonen, som vist for et objekt på en fjær iFigur 15.3. Den maksimale forskyvningen fra likevekt kallesamplitude (EN). Enhetene for amplitude og forskyvning er de samme, men avhenger av typen oscillasjon. For objektet på fjæren er enhetene for amplitude og forskyvning meter.

Figur15.3 En gjenstand festet til en fjær som glir på en friksjonsfri overflate er en ukomplisert enkel harmonisk oscillator. I det ovennevnte settet med figurer er en masse festet til en fjær og plassert på et friksjonsfritt bord. Den andre enden av fjæren er festet til veggen. Massens posisjon, når fjæren verken er strukket eller komprimert, er markert som$x=0$og er likevektsposisjonen. (a) Massen forskyves til en posisjon$x=\mathrm{EN}$og løslatt fra hvile. (b) Massen akselererer når den beveger seg i negativ retningx-retning, når en maksimal negativ hastighet ved$x=0$. (c) Massen fortsetter å bevege seg i negativ retningx-retning, bremser til den stopper kl$x=\text{−}\mathrm{EN}$. (d) Massen begynner nå å akselerere i positivx-retning, når en positiv maksimal hastighet ved$x=0$. (e) Massen fortsetter deretter å bevege seg i positiv retning til den stopper kl$x=\mathrm{EN}$. Massen fortsetter i SHM som har en amplitudeENog en periodeT. Objektets maksimale hastighet oppstår når det passerer gjennom likevekt. Jo stivere våren er, desto mindre er periodenT. Jo større massen til objektet er, jo større er periodenT.

See Also

4.3: Akselerasjonsvektor3.E: Bevegelse langs en rett linje (øvelser)3.4 Bevegelse med konstant akselerasjon2.5 Bevegelsesligninger for konstant akselerasjon i én dimensjon - College Physics 2e | OpenStax

Hva er så viktig med SHM? For en ting, periodenTog frekvensfav en enkel harmonisk oscillator er uavhengig av amplitude. Strengen til en gitar, for eksempel, svinger med samme frekvens enten den plukkes forsiktig eller hardt.

To viktige faktorer påvirker perioden til en enkel harmonisk oscillator. Perioden er knyttet til hvor stivt systemet er. En veldig stiv gjenstand har en storkraftkonstant (k), noe som gjør at systemet får en kortere periode. For eksempel kan du justere et stupebretts stivhet – jo stivere det er, jo raskere vibrerer det, og jo kortere perioden. Periode avhenger også av massen til det oscillerende systemet. Jo mer massivt systemet er, jo lengre er perioden. For eksempel spretter en tung person på et stupebrett opp og ned saktere enn en lett. Faktisk massenmog kraftkonstantenkerbarefaktorer som påvirker perioden og hyppigheten av SHM. For å utlede en ligning for perioden og frekvensen, må vi først definere og analysere bevegelseslikningene. Merk at kraftkonstanten noen ganger refereres til somfjærkonstant.

Ligninger av SHM

Tenk på en blokk festet til en fjær på et friksjonsfritt bord (Figur 15.4). Delikevektsposisjon(posisjonen hvor fjæren verken er strukket eller komprimert) er merket som$x=0$. Ved likevektsposisjonen er nettokraften null.

Figur15.4 En blokk festes til en fjær og plasseres på et friksjonsfritt bord. Likevektsposisjonen, hvor fjæren verken er forlenget eller komprimert, er markert som$x=0.$

Det jobbes på blokken for å trekke den ut til en posisjon på$x=+\mathrm{EN},$og den frigjøres deretter fra hvile. Det maksimalex-posisjon (EN) kalles amplituden til bevegelsen. Blokken begynner å svinge i SHM mellom$x=+\mathrm{EN}$og$x=\text{−}\mathrm{EN},$hvorENer amplituden til bevegelsen ogTer perioden for svingningen. Perioden er tiden for én svingning.Figur 15.5viser bevegelsen til blokken når den fullfører en og en halv svingning etter utløsning.Figur 15.6viser et plott av blokkens posisjon kontra tid. Når posisjonen er plottet mot tid, er det klart at dataene kan modelleres av en cosinusfunksjon med en amplitudeENog en periodeT. Cosinusfunksjonen$\text{cos}\mathrm{Jeg}$gjentar hvert multiplum av$2\mathrm{Pi},$mens blokkens bevegelse gjentas hver periodeT. Men funksjonen$\text{cos}\left(\frac{2\mathrm{Pi}}{T}t\right)$gjentar hvert heltalls multiplum av perioden. Maksimum for cosinusfunksjonen er én, så det er nødvendig å multiplisere cosinusfunksjonen med amplitudenEN.

Husk fra kapittelet om rotasjon at vinkelfrekvensen er lik$\mathrm{\AA h}=\frac{d\mathrm{Jeg}}{dt}$. I dette tilfellet er perioden konstant, så vinkelfrekvensen er definert som$2\mathrm{Pi}$delt på perioden,$\mathrm{\AA h}=\frac{2\mathrm{Pi}}{T}$.

Figur15.5 En blokk festes til den ene enden av en fjær og plasseres på et friksjonsfritt bord. Den andre enden av fjæren er forankret til veggen. Likevektsposisjonen, der nettokraften er lik null, er markert som$x=0\text{m}\text{.}$Det jobbes på blokken, trekker den ut til$x=+\mathrm{EN}$, og blokken frigjøres fra hvile. Blokken svinger mellom$x=+\mathrm{EN}$og$x=\text{−}\mathrm{EN}$. Kraften vises også som en vektor.

Figur15.6 En graf over posisjonen til blokken vist iFigur 15.5som en funksjon av tid. Posisjonen kan modelleres som en periodisk funksjon, for eksempel en cosinus- eller sinusfunksjon.

Ligningen for posisjonen som funksjon av tid$x\left(t\right)=\mathrm{EN}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t\right)$er bra for modellering av data, hvor posisjonen til blokken på det første tidspunktet$t=\mathrm{0,00}\text{s}$er på amplitudenENog starthastigheten er null. Ofte når du tar eksperimentelle data, posisjonen til massen på det første tidspunktet$t=\mathrm{0,00}\text{s}$er ikke lik amplituden og starthastigheten er ikke null. Tenk på 10 sekunder med data samlet inn av en student i laboratoriet, vist iFigur 15.7.

Figur15.7 Data samlet inn av en student i laboratoriet indikerer plasseringen av en blokk festet til en fjær, målt med en sonisk avstandsmåler. Dataene samles inn fra og med tidspunktet$t=\mathrm{0,00}\text{s,}$men startposisjonen er nær posisjon$x\approx -\mathrm{0,80}\text{cm}\ne 3.00\text{cm}$, slik at startposisjonen ikke er lik amplituden$x_0=+\mathrm{EN}$. Hastigheten er den tidsderiverte av posisjonen, som er helningen ved et punkt på grafen for posisjon kontra tid. Hastigheten er det ikke$v=\mathrm{0,00}\text{m/s}$på tidspunktet$t=\mathrm{0,00}\text{s}$, som tydelig ved stigningen til grafen for posisjon versus tid, som ikke er null ved det første tidspunktet.

Dataene iFigur 15.7kan fortsatt modelleres med en periodisk funksjon, som en cosinusfunksjon, men funksjonen flyttes til høyre. Dette skiftet er kjent som enfaseendringog er vanligvis representert med den greske bokstaven phi$(\varphi )$. Ligningen av posisjonen som funksjon av tid for en blokk på en fjær blir

$$x\left(t\right)=\mathrm{EN}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right).$$

Dette er den generaliserte ligningen for SHM hvorter tiden målt i sekunder,$\mathrm{\AA h}$er vinkelfrekvensen med enheter av inverse sekunder,ENer amplituden målt i meter eller centimeter, og$\varphi$er faseforskyvningen målt i radianer (Figur 15.8). Det skal bemerkes at fordi sinus- og cosinusfunksjoner bare skiller seg ved et faseskift, kan denne bevegelsen modelleres ved å bruke enten cosinus- eller sinusfunksjonen.

Figur15.8 (a) En cosinusfunksjon. (b) En cosinusfunksjon forskjøvet til venstre med en vinkel$\varphi$. Vinkelen$\varphi$er kjent som faseforskyvningen av funksjonen.

Hastigheten til massen på en fjær, oscillerende i SHM, kan finnes ved å ta den deriverte av posisjonsligningen:

$$v\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\mathrm{EN}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right)\right)=\text{−}\mathrm{EN}\mathrm{\AA h}\text{synd}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right)=\text{−}{v}_{\text{maks}}\text{synd}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right).$$

Fordi sinusfunksjonen svinger mellom –1 og +1, er maksimal hastighet amplituden ganger vinkelfrekvensen,$v_{\text{maks}}=\mathrm{EN}\mathrm{\AA h}$. Maksimal hastighet oppstår ved likevektsposisjonen$\left(x=0\right)$når massen beveger seg mot$x=+\mathrm{EN}$. Maksimal hastighet i negativ retning oppnås ved likevektsposisjonen$\left(x=0\right)$når massen beveger seg mot$x=\text{−}\mathrm{EN}$og er lik$\text{−}{v}_{\text{maks}}$.

Akselerasjonen til massen på fjæren kan bli funnet ved å ta den tidsderiverte av hastigheten:

$$\mathrm{en}\left(t\right)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\text{−}\mathrm{EN}\mathrm{\AA h}\text{synd}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right)\right)=\text{−}\mathrm{EN}{\mathrm{\AA h}}^2\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\mathrm{Phi}\right)=\text{−}{\mathrm{en}}_{\text{maks}}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right).$$

Maksimal akselerasjon er${\mathrm{en}}_{\text{maks}}=\mathrm{EN}{\mathrm{\AA h}}^2$. Maksimal akselerasjon skjer ved posisjonen$\left(x=\text{−}\mathrm{EN}\right)$, og akselerasjonen ved posisjonen$\left(x=\text{−}\mathrm{EN}\right)$og er lik$\text{−}{\mathrm{en}}_{\text{maks}}$.

Sammendrag av bevegelseslikninger for SHM

Oppsummert kan den oscillerende bevegelsen til en blokk på en fjær modelleres med følgende bevegelsesligninger:

Her,ENer amplituden til bevegelsen,Ter perioden,$\varphi$er faseforskyvningen, og$\mathrm{\AA h}=\frac{2\mathrm{Pi}}{T}=2\mathrm{Pi}f$er vinkelfrekvensen for blokkens bevegelse.

Perioden og hyppigheten av en messe på en vår

Et interessant kjennetegn ved SHM til et objekt festet til en fjær er at vinkelfrekvensen, og derfor perioden og frekvensen til bevegelsen, avhenger bare av massen og kraftkonstanten, og ikke av andre faktorer som amplituden til bevegelse. Vi kan bruke bevegelseslikningene og Newtons andre lov$({\overrightarrow{F}}_{\text{nett}}=m\overrightarrow{\mathrm{en}})$for å finne ligninger for vinkelfrekvensen, frekvensen og perioden.

Tenk på blokken på en fjær på en friksjonsfri overflate. Det er tre krefter på massen: vekten, normalkraften og kraften på grunn av fjæren. De eneste to kreftene som virker vinkelrett på overflaten er vekten og normalkraften, som har like store og motsatte retninger, og dermed summerer til null. Den eneste kraften som virker parallelt med overflaten er kraften på grunn av fjæren, så nettokraften må være lik fjærens kraft:

$$\begin{array}{ccc}\hfill F_x& =\hfill & \text{−}kx;\hfill \\ \\ \hfill m\mathrm{en}& =\hfill & \text{−}kx;\hfill \\ \\ \\ \hfill m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}& =\hfill & \text{−}kx;\hfill \\ \hfill \frac{d^{2}x}{d{t}^2}& =\hfill & -\frac{k}{m}x.\hfill \end{array}$$

Erstatter bevegelsesligningene forxogengir oss

$$\text{−}\mathrm{EN}{\mathrm{\AA h}}^2\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right)=-\frac{k}{m}\mathrm{EN}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right).$$

Å kansellere like termer og løse for vinkelfrekvensen gir

Vinkelfrekvensen avhenger kun av kraftkonstanten og massen, og ikke amplituden. Vinkelfrekvensen er definert som$\mathrm{\AA h}=2\mathrm{Pi}\text{/}T,$som gir en ligning for perioden av bevegelsen:

Perioden avhenger også kun av massen og kraftkonstanten. Jo større masse, jo lengre periode. Jo stivere våren er, jo kortere er perioden. Frekvensen er

Vertikal bevegelse og en horisontal fjær

Når en fjær henges vertikalt og en blokk festes og settes i bevegelse, svinger blokken i SHM. I dette tilfellet er det ingen normalkraft, og nettoeffekten av tyngdekraften er å endre likevektsposisjonen. Ta i betraktningFigur 15.9. To krefter virker på blokken: vekten og kraften til fjæren. Vekten er konstant og kraften til fjæren endres etter hvert som lengden på fjæren endres.

Figur15.9 En fjær er hengt i taket. Når en blokk er festet, er blokken i likevektsposisjonen hvor vekten av blokken er lik kraften til fjæren. (a) Fjæren henges fra taket og likevektsposisjonen er markert som$y_o$. (b) En masse festes til fjæren og en ny likevektsposisjon er nådd ($y_1=y_o-\text{D}y$) når kraften fra fjæren tilsvarer vekten av massen. (c) Frikroppsdiagrammet for massen viser de to kreftene som virker på massen: vekten og kraften til fjæren.

Når blokken når likevektsposisjonen, som vist iFigur 15.9, kraften til fjæren er lik vekten av blokken,$F_{\text{nett}}=F_{\text{s}}-mg=0$, hvor

$$\text{−}k\left(\text{−}\text{D}y\right)=mg.$$

Fra figuren er endringen i posisjonen$\text{D}y=y_0-y_1$og siden$\text{−}k\left(\text{−}\text{D}y\right)=mg$, vi har

$$k\left(y_0-y_1\right)-mg=0.$$

Hvis blokken forskyves og slippes, vil den svinge rundt den nye likevektsposisjonen. Som vist iFigur 15.10, hvis posisjonen til blokken er registrert som en funksjon av tid, er registreringen en periodisk funksjon.

Hvis blokken er forskjøvet til en posisjony, blir nettokraften$F_{\text{nett}}=k\left(y_0-y\right)-mg=0$. Men vi fant at ved likevektsposisjonen,$mg=k\text{D}y=k{y}_0-k{y}_1$. Å erstatte vekten i ligningen gir

$$F_{\text{nett}}=k{y}_0-ky-\left(k{y}_0-k{y}_1\right)=\text{−}k\left(y-k{y}_1\right).$$

Husk det$y_1$er bare likevektsposisjonen og enhver posisjon kan settes til å være punktet$y=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$Så la oss sette$y_1$til$y=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$Nettokraften blir da

$$\begin{array}{ccc}\hfill F_{\text{nett}}& =\hfill & \text{−}ky;\hfill \\ \\ \\ \hfill m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}& =\hfill & \text{−}ky.\hfill \end{array}$$

Dette er akkurat det vi fant tidligere for en horisontalt glidende masse på en fjær. Den konstante tyngdekraften tjente bare til å skifte likevektsplasseringen til massen. Derfor bør løsningen være den samme formen som for en blokk på en horisontal fjær,$y\left(t\right)=\mathrm{EN}\text{cos}\left(\mathrm{\AA h}t+\varphi \right).$Ligningene for hastigheten og akselerasjonen har også samme form som for det horisontale tilfellet. Legg merke til at inkluderingen av faseforskyvningen betyr at bevegelsen faktisk kan modelleres ved å bruke enten en cosinus- eller en sinusfunksjon, siden disse to funksjonene bare skiller seg med et faseskift.

Figur15.10 Grafer avy(t),v(t), ogen(t) mottfor bevegelse av et objekt på en vertikal fjær. Nettokraften på objektet kan beskrives av Hookes lov, så objektet gjennomgår SHM. Merk at startposisjonen har den vertikale forskyvningen på sin maksimale verdiEN;ver i utgangspunktet null og deretter negativ når objektet beveger seg ned; startakselerasjonen er negativ, tilbake mot likevektsposisjonen og blir null på det punktet.